آزمون پارامتریک یا غیر پارامتریک: از کدام یک برای آزمون فرض استفاده کنیم؟

اگر در حال مطالعه آمار هستید، احتمالا با دو عبارت آزمون پارامتریک و غیرپارامتریک (parametric and non-parametric test) مواجه شده‌اید. آشنایی با این اصطلاحات، برای هر کسی که به دنبال آمار و علم داده است ضروری است.

آزمون‌های پارامتریک و غیرپارامتریک (ناپارامتریک) دو روش اصلی طبقه بندی آزمون‌های آماری هستند. جنبه هیجان انگیز و پیچیده این طبقه‌بندی، به ویژه در مورد آزمون‌های غیرپارامتریک در آمار، این است که هیچ تعریف قطعی از آزمون غیرپارامتریک، وجود ندارد. این باعث می شود که درک تفاوت بین این دو اصطلاح، پیچیده تر شود و به رویکرد ظریف‌تری نیاز شود.

یکی از راه‌های متداول این است که نمونه‌هایی از آزمون‌های پارامتریک را در نظر بگیرید و سپس در مورد همتایان غیر پارامتریک آنها بحث کنید. این یکی از بهترین روش‌ها برای درک تفاوت‌ها است. در این مقاله، ما این رویکرد را برای درک این موضوع در نظر خواهیم گرفت.

مروری بر مفاهیم بنیادی آماری

قبل از ارائه تعاریف آزمون های پارامتریک و غیرپارامتریک، بررسی برخی مفاهیم مهم آماری که مبنای این آزمون‌ها هستند، حائز اهمیت است.

جمعیت

جمعیت به همه افراد یا موضوعاتی که می خواهید در مورد آن مطالعه کنید، اشاره دارد. در آمار معمولا شما هرگز نمی توانید اطلاعات مربوط به جمعیت را به طور کامل جمع آوری کنید، زیرا جمعیت بسیار بزرگ است و نمی‌توان به کل جمعیت دسترسی داشت. به عنوان مثال، فرض کنید می خواهید از درآمد همه‌ی هندی‌های شاغل مطلع شوید. در این صورت پرسش از درآمد میلیون‌ها نفر تقریباً غیرممکن است. همچنین، حجم و سرعت پردازش داده‌های جمعیت بسیار دشوار است (ممکن است باعث مشکلات سخت افزاری (حافظه محدود) شود). به عنوان مثال، اگر می‌خواهید الگوی مخارج مشتریان بانک را تحلیل کنید، تعداد تراکنش‌هایی که در هر لحظه انجام می‌شود، می‌تواند به میلیون‌ها تراکنش برسد و تجزیه و تحلیل داده های یک ماه می تواند از نظر محاسباتی آنقدر گران باشد که تحلیل را غیرممکن ‌کند.

پارامتر

برای پاسخ به هر سوال مرتبط با جمعیت، محاسباتی برای کمی کردن باید انجام شود، مانند میانگین، انحراف معیار، میانه، حداقل، حداکثر، محدوده بین چارکی، و غیره. این مقادیر معنی‌دار که جمعیت را توصیف می کنند به عنوان "پارامتر" شناخته می‌شوند.

نمونه

همانطور که قبلا ذکر شد، به دلیل مسائل مختلف، داشتن اطلاعات کامل از جمعیت مورد نظر دشوار است. با این حال، برای پاسخ به بسیاری از سوالات، باید جمعیت را درک کنید. اینجاست که استفاده از نمونه ها مفید واقع می شود. نمونه‌ها چیزی نیستند جز زیرمجموعه ای از جامعه که به دلیل مفهومی معروف به قضیه حد مرکزی، جامعه را نشان می‌دهند.

قضیه حد مرکزی

قضیه حد مرکزی (CLT) بیان می کند که اگر تعداد نمونه‌ها به اندازه کافی زیاد باشد، یعنی حجم نمونه بزرگ باشد (از لحاظ نظری، بیش از 30)، میانگین همه این نمونه‌ها با میانگین جامعه یکسان خواهد بود. جنبه دیگر این قضیه این است که توزیع نمونه نرمال (گاوسی) خواهد بود حتی اگر توزیع جامعه نرمال نباشد.

توزیع

توزیع تابعی است که تمام مقادیر ممکن یک مجموعه داده نشان می‌دهد. توزیع اغلب با استفاده از نمودارهایی مانند هیستوگرام یا نمودار خطی نشان داده می شود. توزیع های مختلف دارای اشکال و ویژگی های خاص هستند که به محاسبه احتمالات کمک می کنند. این احتمالات معمولاً مربوط به احتمال وقوع یک مقدار در داده‌ها هستند که می‌توان آن را برای ایجاد فرض بزرگ‌تری در مورد فضای نمونه و جمعیتی که از آن استخراج شده است، برون یابی کرد.

انواع توزیع

توزیع می تواند متقارن یا نامتقارن باشد. توزیع‌های متقارن، توزیعی‌هایی هستند که سطح زیر منحنی سمت چپ نقطه مرکزی با سمت راست یکسان باشد. توزیع های نامتقارن کج هستند که می‌توانند مثبت یا منفی باشند. راه دیگر برای درک توزیع متقارن از نظر شکل این است که هیچ چولگی وجود نداشته باشد زیرا سمت راست توزیع سمت چپ را منعکس می کند. 

توزیع گاوسی  و قانون سه–انحراف معیار

بر أساس CLT، یک نمونه بزرگ دارای توزیع نرمال (توزیع گاوسی) است. این توزیع، متقارن است و دارای یک منحنی زنگی شکل است که در آن میانگین، میانه و مد منطبق هستند. یکی از ویژگی های توزیع نرمال، قانون سه سیگما در مورد مساحت زیر منحنی (Area Under the Curve: AUC) است که بیان می کند:

• AUC بین  -1و 1  برابر انحراف استاندارد 68.27٪ است.
•  AUC بین -2 و 2 برابر انحراف استاندارد 95.54٪ است.
•  AUC بین -3 و 3 برابر انحراف استاندارد 99.73٪ است.

این مفهوم برای محاسبه احتمال وقوع یک مقدار در این توزیع گسترش می‌یابد که منجر به آزمون‌های فرضی مانند آزمون z می‌شود.

آزمون فرض

آزمون فرض یک جنبه اساسی آمار استنباطی است و همانطور که از نام آن پیداست، برای بررسی اینکه آیا فرضی که در مورد جمعیت مطرح می‌شود درست است یا خیر استفاده می‌شود. این آزمون، اغلب با محاسبه احتمال وقوع یک مقدار در نمونه جامعه و در نظر گرفتن انحراف معیار داده ها انجام می‌شود.

آمار

مقادیر محاسباتی خاصی که به تعریف جمعیت کمک می کنند به عنوان پارامتر شناخته می شوند. با این حال، همانطور که اغلب از نمونه ها استفاده می ‌شود، این مقادیر زمانی که با استفاده از یک نمونه محاسبه می شوند، به عنوان آمار شناخته می شوند. به عنوان مثال، اگر درآمد همه هندی ها را بدانید و میانگین درآمد را از این داده های جمعیت محاسبه کنید، این مقدار یک پارامتر خواهد بود. با این حال، هنگامی که با استفاده از نمونه ی جامعه محاسبه می شود، میانگین به عنوان یک آمار شناخته می شود. برای اطمینان از اینکه میانگین نمونه واقعاً نشان‌دهنده میانگین جامعه است و ناشی از شانس تصادفی نیست، از مفهوم آزمون فرض استفاده می‌شود.

با مفاهیم مهم ارائه شده، اکنون می توانید به این سوال پاسخ دهید: آزمون پارامتریک چیست؟ 

آزمون‌های پارامتریک

آزمون پارامتریک در آمار به یک نوع فرعی از آزمون فرض اشاره دارد. آزمون فرض پارامتریک رایج ترین نوع آزمونی است که برای درک ویژگی های جامعه از یک نمونه انجام می‌شود. در حالی که آزمون‌های پارامتریک زیادی وجود دارد و تفاوت‌های خاصی با هم دارند، بعضی از ویژگی‌ها در تمام آزمون‌ها مشترک هستند که آنها را به بخشی از "آزمون‌های پارامتریک" تبدیل می‌کند. این ویژگی‌ها عبارتند از: 

1. هنگام استفاده از چنین آزمون هایی، باید درک عمیق و درستی از جمعیت وجود داشته باشد.
2. بسط نکته فوق این است که برای استفاده از چنین آزمون‌هایی، چندین فرض در مورد جامعه باید برآورده شوند (از این رو درک صحیح جامعه مورد نیاز است). یک فرض رایج این است که جمعیت باید به طور نرمال توزیع شود.
3. اگر مفروضات مربوط به جمعیت به طور معنی‌داری انحراف داشته باشند، نمی‌توان به خروجی های چنین آزمون هایی اعتماد کرد.
4. برای اجرای چنین آزمون‌هایی به حجم نمونه بزرگی نیاز است. از نظر تئوری، حجم نمونه باید بیش از 30 باشد تا قضیه حد مرکزی بتواند اعمال شود و نمونه به طور نرمال توزیع شود. البته توجه داشته باشید که آزمون‌های پارامتریک با توزیع اریب و غیرنرمال به خوبی انجام می شوند، مشروط بر اینکه شرایط اندازه نمونه برای آزمون را برآورده کنند. (به عنوان مثال، یک آزمون t تک نمونه ای مستلزم آن است که حجم نمونه بیشتر از 20 باشد).
5. آزمون های پارامتریک در مقایسه با همتایان غیر پارامتریک خود برای اندازه نمونه مشابه، معمولاً قدرت آماری بیشتری دارند.
6. این آزمون‌ها فقط برای متغیرهای پیوسته/کمی مفید هستند.
7. اندازه گیری گرایش مرکزی (یعنی ارزش مرکزی داده ها) معمولاً با استفاده از میانگین انجام می شود.
8. خروجی چنین آزمون‌هایی به راحتی قابل تفسیر است. با این حال، درک عملکرد آنها می تواند چالش برانگیز باشد.
9. تست‌های پارامتریک زمانی که گستردگی (spread) هر گروه متفاوت است، عملکرد خوبی دارند. در حالی که آزمون‌های غیرپارامتریک نرمال بودن را در نظر نمی‌گیرند، اما برخی نیاز دارند که همه گروه‌هایی که مقایسه می‌شوند دارای یک گسترش باشند. این برای تست های پارامتریک مورد نیاز نیست.

برای درک نقش آزمون‌های پارامتریک در آمار، اجازه دهید انواع مختلف آزمون های پارامتریک را بررسی کنیم. این آزمون‌ها، می‌توانند یکی مسائل زیر را حل ‌کنند:

1. محاسبه فاصله اطمینان جمعیت با استفاده از انحراف معیار
2. مقایسه میانگین نمونه با یک مقدار فرضی 
3. مقایسه دو مقدار کمی که از یک موضوع مشترک به دست آمده‌اند 
4. مقایسه دو مقدار کمی که از دو یا چند موضوع متفاوت به دست آمده‌اند
5. محاسبه سطح ارتباط بین دو ویژگی عددی